2.6 Potenciación de Naturales

Números Naturales:

 

♠ Potenciación:

  •  Recordemos lo que es potenciación
  • Buscar en el diccionario el significado de estimar
  • ¿Qué es un cuadrado?
  • ¿Qué es un cubo?
  • ¿Qué significa la palabra inverso?

♠ Potenciación.-

Cuando tenemos un número que se multiplica por si mismo varias veces, se puede abreviar escribiéndolo en forma de potencia, así por ejemplo:

2 x 2 x 2 = 8  →  2³ = 8

♠ Concepto

1.- Potenciación es una operación entre dos términos llamados: base = a, y exponente = n; en donde la base se multiplica por si mismo las veces que nos indica el exponente; se escribe ay se lee: “a elevado a la n”,

2.- La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales:

Ejemplo:

7 · 7 · 7 · 7 = 74

  Base es el número que multiplicamos por si mismo, en nuestro ejemplo es el 7, exponente es el número que indica cuantas veces multiplicamos la base, en nuestro ejemplo es el 4

♠ Clases de potencias:

1.-  Un número elevado al exponente 0 es igual a 1      

       a0 = 1        60 = 1

2.-  Un número elevado al exponente 1 es igual a sí mismo

       a1 = a         61 = 6

3.-  Cuando el exponente es 2 se llama cuadrado

4.- Cuando el exponente es 3 se llama cubo

5.-  Cuando la base es 10, la potencia es igual a 1 más tantos ceros como el número del exponente

6.-  La potencia de una fracción es igual a elevar tanto el numerador como el denominador al exponente dado

potencia

potencia

♣ Propiedades de la potenciación

♥ Producto de potencias de igual base.-

El producto o multiplicación de potencias de la misma base es igual a conservar la misma base y como exponente la suma de los exponentes, ejemplo:

Demostración:

♥ Cociente de potencias de igual base.-

El cociente o división de potencias de la misma base es igual a conservar la misma base y como exponente realizar la resta de los exponentes (el del divisor menos el del dividendo), ejemplo:

Demostración:

♥ Potencia de otra potencia.-

La potencia de potencia se observa cuando existen varios exponentes que afectan a una misma base, y se usan signos de agrupación para indicar las potencias superiores; y la regla dice que en la potencia de potencia se debe colocar la base y se multiplican los exponentes, ejemplo:

Demostración:

♥ Propiedad distributiva o Potencia de un producto o cociente.-

La propiedad distributiva de la potenciación se utiliza sólo en la multiplicación y división; NUNCA en la suma o resta; y dice:

Cuando una multiplicación o división está elevada a un exponente, podemos elevar al exponente cada uno de sus factores o dividendo y divisor, ejemplo:

♠ Signo de una potencia.-

1.- Las potencias de exponente par son siempre positivas:

base negativaEjemplo:

26 = 64

(−2)6 = 64

2.- Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base:

base negativa  Ejemplo:

23 = 8

(−2)3 = −8

♠ Potencias de exponente negativo.-

La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número elevado al exponente positivo:

potencia

ejemplo

Potencias de exponente negativo

ejercicio

Ejercicios:

1.-  ACTIVIDADES

1) ¿Se pueden escribir las siguientes expresiones como potencias? ¿Por qué?

a)   2 · 2 · 3 · 2              b)   5 + 5 + 5                 c)   7 · 7 · 7

2) Calcula el valor de las siguientes potencias:

a)  24     b)  32    c)  53     d)  35

e)  63     f)  36     g)  123    h)  114     i)  133

3) Escribe como se leen las siguientes potencias:

a)  24     b)  62    c)  26     d)  73

4) Calcula el valor de las siguientes potencias:
a)  7²      b)  10³       c)  45       d)  2 7       e)  5°

f)  16      g)  6¹        h)  105      i)  8°      j)  0 8

5) Sustituye las interrogaciones por los números que correspondan en las siguientes expresiones:
a) 3? = 27        b) 2? = 64            c) 4? = 64

d) ?4 = 10000       e) ?³ = 8         f) 5? = 625            h) ?6 = 1

2.-  En los enlaces de nuestra página, ir a juegos matemáticos para séptimo, luego en la primera columna escoger: “Exponents and square roots”, que significa: “Potencias y raices cuadradas”, realizar las actividades de esa página.

♠ Descomposición Polinómica de números naturales

(Estimar significa en matemáticas, calcular el valor aproximado de una cosa).

1.-  Fíjate en el siguiente ejemplo de descomposición del número 74.302:

74.302 = 70.000 + 4.000 + 300 + 2 =

7 · 10.000 + 4 · 1.000 + 3 · 100 + 2 =

7 · 104 + 4 · 10³+ 3 · 10² + 2 = 74.302

A esta forma de descomponer un número se le llama descomposición polinómica.

Ejercicios:

6) Efectúa la descomposición polinómica de los siguientes números:
a) 426                  b) 5.031                c) 450.006

d) 6¹003.402           e) 680.702          f) 608.072

2.-  Para estimar los cuadrados de algunos números, podemos descomponer en operaciones más sencillas, como la siguiente:

13² = (10 + 3)²

13²  = 10² + 2(10•3) + 3²

13²  = 100 + 60 + 9

13²  = 169

Graficamente:

Si, a = 10  y  b = 3, tenemos

10² + 2•(10•3) + 3²

3.-  Para estimar los cubos de algunos números, podemos descomponer en operaciones más sencillas, así:

15³ = (10 + 5)³

15³ = 10³ + 3(10²•5) + 3(10•5²) + 5³

15³ = 1000 + 1500 + 750 + 125

15³ = 3375

Graficamente:

Ejercicios y Situaciones reales:

Completa las desigualdades escribiendo (en el circulo), el exponente en cada base para que se cumpla:

a)      5O <  2O

b)      12O  >  4O

c)      8O <  7O

d)     14O >  6O

e)      20O <  10O

f)       3O <  4O

1.- Mi vecina cercó su jardín que tiene forma cuadrada, usó 20 metros de soga. ¿Cuál es el área del jardín de mi vecina?

2.- El lado de un terreno cuadrado mide 8,5 metros, estima el área del terreno.


3.- Al cumplir los 9 años María, su papá le manda de regalo 9 cajas, con 9 arreglos florales cada caja; y, cada arreglo con 9 rosas blancas. ¿Cuántas rosas blancas habrá en el cumpleaños de María?

4.- Luis ha sembrado 7 hileras con 7 árboles de naranjas cada una, en un espacio cuadrado. ¿Cuántos árboles de naranjas ha sembrado Luis?

5.- Estima el volumen de una piscina de forma cúbica que mide de lado 3,5 metros.

♠ Calculo de cuadrados y cubos con calculadora.-

Hay muchos estilos de calculadoras, desde las más sencillas con pocas teclas y funciones, hasta las más completas con muchas funciones.

  • Para calcular cuadrados y cubos en las más sencillas sólo debemos multiplicar la base, tantas veces como nos diga el exponente.
  •  Pero en las calculadoras más completas existen teclas precisas para el cálculo de cuadrados = x² y cubos = x³; basta colocar la base y pulsar la tecla deseada para conseguir el resultado del cuadrado o cubo de la base tecleada.

Operaciones combinadas con potenciación y radicación:

El orden para resolver las operaciones combinadas es:

1.-  Primero se resuelven todas las potencias y raíces.

2.-  Segundo se resuelven las multiplicaciones y divisiones.

3.-  y por último se resuelven las sumas y restas

Ejemplo:

a)

b)

2 Responses “2.6 Potenciación de Naturales” →

  1. Luis Navarro

    3 noviembre, 2012

    sabes como se resuelve 3^3 + 3^3 + 3^3 = ¿? La encontre en un libro, y la verdad me despertó varias dudas de cual es la forma correcta de resolverlo. Me puedes ayudar?

    Responder
    • Sabes que significa el signo que se encuentra entre los dos primeros tres??
      Hay un signo matemático asi, que significa “y”, es un conectivo lógico, no una operación.
      Si me dices en que tema encontraste, tal vez te pueda ayudar.

      Responder

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