2.7 Radicación de naturales

Números Naturales

♠ Radicación.-

•  Necesitamos conocer bien los cuadrados y cubos perfectos de los 20 primeros números naturales.

• Necesitamos conocer bien la descomposición en factores primos.
• Necesitamos conoces los términos de la radicación

♣ Concepto.-

La radicación es la operación inversa de la potenciación; es decir si nos dan el área de un cuadrado, extraer la raíz es encontrar el lado de ese cuadrado; mientras que la potenciación nos dan el lado del cuadrado y encontramos el área.

♣ Definición.-

Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número n de veces nos da el número a.

Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.  Porque 14 x 14 = 196 → √196 = 14

 ♣ Terminos:

El número que esta dentro del radical se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice y se encuentra en la V del radical, el resultado se llama raíz.

La mejor forma de encontrar las raíces de cualquier número exacto es convertir las raíces a potencias en donde la base de la potenciación es la raíz buscada.

Nombre de la raíz según su índice.-

Para el índice 2 (si el índice es 2, se suele omitir) se le llama raíz cuadrada.

Para índice 3, se llama raíz cúbica; – índice 4, raíz cuarta;  – índice 5, raíz quinta, y así sucesivamente, es decir se nombra el número ordinal.

♠ Raíz cuadrada

1.-)  Raíz cuadrada por defecto (aplicable a cualquier índice), es buscar el mayor número natural cuyo cuadrado (u otro índice) sea menor o igual que el radicando.

Ejemplo:   Raíz cuadrada de 52:
1² =1 < 52,                    5² =25 < 52,

2² = 4< 52,                   6² =36 <52,

3² = 9 <52,                   7² = 49 < 52,

4² =16 < 52,                8² = 64 > 52

En este caso la raíz por defecto es 7
El resto por defecto es 3, o sea la diferencia de  52 – 49=3

2.-)  Raíz cuadrada por exceso (aplicable a cualquier índice): es el menor número natural que elevado al cuadrado (o al otro índice), da un número mayor y  próximo que el radicando..

Para el ejemplo del caso anterior, la raíz cuadrada por exceso es 8.
El resto por exceso es 12, o sea la diferencia de 64 – 52 = 12

3.-)  Raíz cuadrada exacta, (aplicable a cualquier índice), es el número que elevado al índice de la raíz es exactamente el radicando, sólo se da en los casos en que el radicando es una potencia exacta.

Ejemplos:
√36 = 6 →porque 6 elevado al cuadrado = 36
³√125 = 5 →porque 5 elevado al cubo = 125
¹√16 = 2 →porque 2 elevado a la cuarta = 16
√49 = 7 → porque 7 elevado al cuadrado = 49

La raíz exacta no tiene resto. No todo número tiene raíz exacta.

 Raíz cuadrada.-

4.-) Algoritmo de la raíz cuadrada:

1-   Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

Por ejemplo:

2-   Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo (período) de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?

3-   El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.

El cuadrado de 2 es 4. se lo resta a 8 y obtenemos 4.

4-   Detrás del resto colocamos (bajamos) el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior.

 

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5-   El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz , multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7…hasta encontrar un valor inferior.

6-   El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

7-   Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz

8-   Prueba de la raíz cuadrada.

Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:

Radicando= (Raíz entera)² + Resto

89 225 = 298² + 421

89 225 = 88 804 + 421

89 225 = 89 225

Ejemplos:

♠ Raíz cúbica

1-   Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el número en períodos de tres cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16.387.064

2-   A continuación se calcula un número entero que elevado al cubo se aproxime lo más posible al número del primer período (empezando por la izquierda).

En nuestro ejemplo el primer número es 16 y el número entero que elevado al cubo se acerca más a 16 es 2. Y 2 es la primera cifra de la raíz.

3-   Después se eleva al cubo esta cifra y se resta del número del primer período.

En nuestro ejemplo 2³ = 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 – 8 = 8

4-   A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente período.

En nuestro ejemplo nos quedaría 8387

5-   Después tenemos que calcular un número a, que haciendo las operaciones siguientes:

3 * (raíz obtenida hasta el momento)² * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a² * 10 + a³

se aproxime lo más posible al número obtenido en el punto 4.

El número a, es el siguiente dígito de la raíz.

En nuestro ejemplo sería ese número a = 5, porque 3 * 2² * 5 * 100 + 3 * 2 * 5² *10 + 5³ = 7625

6-   A continuación restamos este número, al número obtenido en el paso 4.

En nuestro ejemplo: 8387 – 7625 = 762.

7-   Repetimos el paso 4

En nuestro ejemplo: 762064

8-   Repetimos el paso 5 y el número obtenido seria el siguiente número de la raíz.

En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 25² * 4 * 100 + 3 * 25 * 4² * 10 + 4³ = 762064

9-   Repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo 762064 – 762064 = 0.  Es raíz exacta.

índice radicando
4 5 4 es el índice y 5 el radicando

5.-) Propiedades de la radicación.-

Las propiedades de la radicación son  similares a las de la potenciación puesto que la raíz es una potencia con exponente fraccionario

1.- Raíz de un producto.-

2.- Raíz de un cociente.-

 

Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar a potencia con exponente fraccionario; pero cuando se realiza con letras (variables) si es necesario, ejemplo:

3.- Raíz de raíz.-