9no. año Ecuaciones e Inecuaciones

♥  Ecuaciones de primer grado

     con una incognita

♦  Concepto

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contiene una o más incognitas.

Ejemplo:          2x + 3 = x – 5

Partes de una Ecuación

  1° Miembro        2° Miembro          La Ecuación tiene dos miembros:

       2x + 3      =     x – 5                      todo lo escrito antes del signo

                                                                igual se le llama primer miembro,

                                                                y, a todo lo que está escrito

                                                                después del signo igual

                                                                se le llama segundo miembro.

Los miembros están compuestos por terminos;   en nuestro ejemplo:

          2x + 3        es el primer miembro y consta de dos terminos:

2x     es el primer termino del primer miembro; y,

+ 3     es el segundo termino del primer miembro.

          x – 5           es el segundo miembro, y consta de dos terminos:

x    es el primer termino del segundo miembro; y,

– 5    es el segundo termino del segundo miembro.


Grado de una Ecuación

El grado de una ecuación lo da el término que tenga mayor grado.

En el ejemplo anterior la ecuación es de primer grado; ya que el primer termino en cada uno de los miembros es de primer grado, y ellos dan el grado a la ecuación.

2x, y x, son de primer grado porque el exponente de la variable es uno.

  • También es una ecuación con una sola variable: es la X.  Pueden haber ecuaciones con más variables.
  • La Ecuación de primer grado se le llama también ecuación lineal porque graficada en el plano cartesiano resulta una línea recta.

♦  Resolución de ecuaciones de primer grado con una incognita.-

Solucionar una ecuación, significa encontrar el valor de la incognita que satisface a la ecuación dada; a ésta solución se le llama también raíz de la ecuación.

Para resolver una ecuación necesitamos conocer las propiedades:

♦  Propiedades de las ecuaciones.-

a)   Consideremos que una ecuación por tener el signo igual,

tiene dos miembros iguales; al igual que una balanza con dos platos iguales:

     2x + 3 = x – 5

  • si colocamos un peso en uno de los platos de la balanza, ésta se desnivela; y para equilibrar necesitamos colocar el mismo peso en el otro plato de la balanza.
  • Al igual en una ecuación, si aumentamos un valor al un miembro de la ecuación, ésta se altera, entonces debemos equilibrar  aumentando el mismo valor al otro miembro de la ecuación.

2x + 3 – 3 = x – 5 – 3                          realizando operaciones queda:

2x = x – 8

  •  si quitamos un peso en uno de los platos de la balanza, ésta se desnivela; y para equilibrar necesitamos quitar el mismo peso al otro plato de la balanza.
  • Al igual en una ecuación, si restamos un valor al un miembro de la ecuación, ésta se altera, entonces debemos equilibrar restando el mismo valor al otro miembro de la ecuación.

2x – x = x – 8 – x                                 realizando las operaciones queda:

x = – 8

Conclusión:

Todo término que se encuentra en un miembro de una ecuación puede pasar al otro miembro cambiando su signo

  • Si en una ecuación, multiplicamos por un valor todo el miembro, para que no alteremos la ecuación; debemos también multiplicar al otro miembro por el mismo valor.
  • Si en una ecuación, dividimos por un valor todo el miembro, para que no se altere la ecuación, debemos dividir también al otro miembro por el mismo valor.

Conclusión:

Todo factor que está multiplicando a un miembro, pasa al otro miembro dividiendo; y viceversa.

Ejemplo:   3x – 5 = x + 3       usando propiedades conseguimos:

3x – x = 3 + 5       realizamos operaciones

2x = 8                   dividimos ambos miembros por 2

x = 4

Algoritmo para resolver ecuaciones:

Con el siguiente ejemplo desarrollaremos el algoritmo:

(x – 3)/3- (x – 1)/2 = 2 – x

1°)   Eliminamos denominadores, (multiplicando ambos miembros por el mcm de los denominadores existentes)

  simplificamos     6·{(x-3)/3- (x-1)/2} = (2-x)·6

2(x-3) – 3(x-1) = (2 – x)·6

2°)  Suprimimos signos de agrupación, (resolviendo las operaciones)

2x – 6 -3x + 3 = 12 – 6x

3°)  Pasamos al primer miembro los terminos que contienen la variable y al segundo miembro los terminos independientes

2x – 3x + 6x = 12 + 6 – 3

4°)  Reducimos terminos semejantes

5x = 15

5°)  Despejamos la variable (usamos las propiedades que conocemos)

x = 3

6°)  Podemos comprobar sustituyendo el valor encontrado en el lugar de la variable en la ecuación inicial.

(x – 3)/3- (x – 1)/2 = 2 – x

(3 – 3)/3 – (3 – 1)/2 = 2 – 3

0/3 – 2/2  = – 1

– 1 = – 1

♣  Problemas con ecuaciones sencillas

Como requisito para resolver los problemas necesitamos conocer como pasar del lenguaje común al lenguaje matemático las oraciones o proposiciones dadas, para ello recordemos:

Lenguaje Común Lenguaje Matemático
El doble de un número cualquiera   2x
La mitad de un numero cualquiera   x / 2
La suma de dos números cualesquiera   x + y
La resta de dos números cualesquiera   x – y
La raíz cuadrada de un número cualquiera   √X¯
El producto de un número por su sucesor   x(x + 1)
El cociente entre dos números cualesquiera   x / y
El cuadrado de un numero cualquiera disminuido en tres   x2 – 3
La suma de dos números consecutivos es once   x + (x+1) = 11

Algoritmo para resolver problemas de ecuaciones:

1°)  Leer el problema y entenderlo muy bien.

2°)  Reconocer los datos conocidos y desconocidos (variable) y representarlos. (generalmente existen dos o más condiciones, una nos sirve para sacar los datos y la otra para formular la ecuación)

3°)  Formular la ecuación con la variable y las condiciones dadas. (generalmente existen dos o más condiciones, una nos sirve para sacar los datos y la otra para formular la ecuación)

4°)  Resolver la ecuación

5°)  Verificar la solución con las condiciones dadas en el problema.

EJEMPLO 1:

6 personas iban a comprar un terreno juntos, contribuyendo por partes iguales; dos de ellos desisten y entonces cada persona de los restantes le toca poner 2000 dólares más. Cuánto cuesta el terreno?

Datos:

6 personas aportan x cada una

4 personas aportan x + 2000 cada una

Valor del tereno = ?

Ecuación:

6·x = 4·(x + 2000)

6x = 4x + 8000

6x – 4x = 8000

2x = 8000

x = 4000

Respuesta =

cada una de las 6 personas aportarán $ 4000                         = 24000

cada una de las 4 personas aportarán $ 6000                         = 24000

                        El valor del terreno es $ 24000

EJEMPLO 2:


Un padre deja una herncia de 45000 dólares, para repartir entre 3 hijos varones y 2 hijas mujeres, y deja por escrito que cada hija reciba $ 3000 más que cada hijo. Hallar lo que le toca a cada uno?.

Datos:

2 hijas = x + 3000  cada una

3 hijos = x cada uno

Ecuación

2(x + 3000) + 3x = 45000

2x + 6000 + 3x = 45000

5x = 39000

x = 7800

Respuesta:

cada hijo recibe $ 7800

cada hija recibe $ 10800

Comprobación

3 (7800) + 2 (10800) = 45000

23400 + 21600 = 45000

45000 = 45000


♥  Inecuaciones de primer grado

     con una incognita

♦  Concepto

Inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contiene una o más incognitas.

Ejemplo:          2x + 3 > x – 5

SIGNOS DE DESIGUALDADES:

< menor que” y “> mayor que”

menor o igual que” y “ mayor o igual que”

Las desigualdades pueden ser representadas en la recta numérica, ejemplo:

x > 2

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