2.1 Orden de Fracciones y decimales

Establecer relaciones de orden en un conjunto de números naturales, fraccionarios y decimales.

Orden:

• Fracciones

 Anticipación.-

• Necesito conocer qué son fracciones equivalentes.
• Qué son fracciones homogéneas.
• Como se consigue el mcm de varios números.
• Debo practicar los ejercicios del enlace: «Ejercicios de Matemáticas«, en la columna de fracciones, el item Identificar.  Realizar estos ejercicios con varios niveles de dificultad, escogiendo en el extremo superior izquierdo el nivel.
• Practicar los ejercicios del enlace: «Ejercicios de Matemáticas«, en la columna de fracciones, el item Comparar. Realizar los ejercicios con diversos niveles de dificultad y con diferentes opciones de fracciones y decimales, que se pueden escoger en la columna de la izquierda.

A)   Prerequisitos:

Fraciciones Equivalentes.-

Son  fracciones equivalentes las que tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes, ejemplos:

¿Por qué son lo mismo? Porque cuando multiplicas o divides a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es:

¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción
también lo tienes que hacer a la parte de abajo!

Graficamente veremos así: 

Cuando dividimos tenemos el siguiente ejemplo:

Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (la hemos hecho la más simple posible).

Cuando conseguimos fracciones equivalentes por multiplicación, estamos amplificando, y cuando conseguimos por división, estamos simplificando. 

RECORDEMOS:

• Las partes de arriba y abajo de la fracción siempre deben ser números enteros.
• Las operaciones que podemos hacer son multiplicar y dividir (siempre las dos partes a la vez). Si sumamos o restamos un número arriba y abajo, no tendremos una fracción equivalente.
• El número que elijas para dividir las dos partes no debe dejar ningún resto en las divisiones.
• Cuando las fracciones son equivalentes, podemos comparar los numeradores para saber cual de ellas es mayor o menor.

¿Cómo comprobamos que dos fracciones son equivalentes? Podemos multiplicar en cruz y el resultado tiene que coincidir.

Otra forma de comprobarlo si tienes a mano una calculadora,… es viendo si tienen el mismo valor decimal..(se divide el numerador entre el denominador)

Fracción Irreductible.-

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar; es decir cuando sus términos no tienen ningún divisor común excepto el 1.

Ejemplo:     1/3,     3/4,      5/7

Ejemplos de fracciones irreductibles.-

Fracciones Homogéneas.-

Son las fracciones que tienen el mismo denominador, cuando dos o más fracciones son homogéneas podemos comparar solo los numeradores.

Comparación.-

 Comparar fracciones homogéneas es muy fácil, solo comparamos los numeradores, así;

Para poder comparar fracciones heterogéneas, debemos hacerlas homogéneas; (buscando el mcm de sus denominadores), y cuando ya están homogéneas sólo comparamos los numeradores.

Ejemplo:

• 5/6,  2/3,  1/2,  1/6,  1/3     →  Fracciones heterogéneas

• 5/6,  4/6,  3/6,  1/6,  2/6     →  Fracciones homogéneas, equivalentes a las anteriores.

• 1/6 < 2/6 < 3/6 < 4/6 < 5/6  → Fracciones homogéneas en orden

•  1/6 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 5/6    →  Fracciones simplificadas ordenadas (de menor a mayor)

• Decimales.-

 Los números decimales se caracterizan por tener la coma o punto decimal, ésta coma divide al número en: parte entera (lo que está antes de la coma) y parte decimal (lo que está después de la coma), cada una de las cifras decimales tiene un nombre específico (que nos dice cuanto debe ir en el denominador cuando pasamos a fracción): la 1ª = décimos, la 2ª = centécimos, la 3ª = milésimos, luego diez milésimos, luego cien milésimos, etc. etc.

Los números decimales pueden escribirse de dos maneras: como fracción o bien en notación decimal.

Ejemplo:

3 / 10	=	0,3
Fracción		Notación decimal

Cuando una fracción tiene de donominador el 1 seguido de ceros, se le llama fracción decimal.

Todo número decimal tiene un fraccionario que le equivale, y todo número fraccionario tiene un número decimal que le equivale.

Paso de decimal a fracción y viceversa:

• Para pasar un número decimal a fraccinario basta escribir el número decimal sin la coma en el numerador; y como denominador escribie el uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número inicial.

Ejemplos:

0,5 = 5/10 → simplificando tenemos = 1/2,

 entonces 0,5 = 1/2

0,25 = 25/100 → simplificando tenemos = 1/4,

 entonces 0,25 = 1/4

1,5 = 15/10 → simplificando tenemos = 3/2,

 entonces 1,5 = 3/2

3,84 = 384/100 → simplificando tenemos = 96/25,

 entonces 3,84 = 96/25

• Para pasar un numero fraccionario a decimal, basta dividir el numerador por el denominador, así:

1/4 = 0,25   porque 1÷4= 0,25

1/2= 1 entre 2 = 0.5
3/4= 3 entre 4 = 0.75

1/8= 1 entre 8 = 0.125

Para ordenar números fraccionarios podemos pasarlos a decimales.

Los números decimales se encuentran en la recta numérica entre los números enteros.

Orden en la semirrecta Numérica.-

 La semirrecta numérica, es una recta que parte desde cero hacia la derecha, y tiene divisiones iguales con números enteros en sucesión; y, entre estos números enteros se encuentran los números fraccionarios o decimales, cuando ubicamos algunos números podemos darnos cuenta del orden de ellos.

La recta tiene números negativos a la izquierda del cero.

¿Cómo ubicamos fracciones heterogéneas en la recta numérica?

Ubicar los números en la recta numérica es otra forma de ordenarlos, pero para ubicarlos debemos hacerlos homogéneos, por ejemplo:

1/6,  2/3,  1/2,  5/6  →  Fracciones heterogéneas (mcm = 6)

1/6,  4/6,  3/6,  5/6  →  Fracciones Homogéneas y equivalentes a las primeras.

1/6 < 1/2 < 2/3 < 5/6  →  Fracciones ordenadas de menor a mayor

 Conclusiones:

Para ordenar números fraccionarios, decimales y naturales, podemos seguir varios caminos:

• Graficarlos (cada número en unidades del mismo tamaño) y comparar las porciones.

• Graficarlos en la recta numérica, allí se encuentran ordenados.

• Pasar todos los números a decimales y compararlos de acuerdo a sus cifras decimales.

• Pasar todos los números a fraccionarios, luego a homogéneos (equivalentes a los originales) y comparar sus numeradores.

Algoritmo para ordenar números fraccionarios:

1. Pasar todos los números a fraccionarios (si hay decimales), los números enteros se acomodan facilmente con cualquiera de las clases de números (para hacerlo fraccionario, se coloca la unidad en el denominador).

2. Si hay fracciones mixtas, pasar a fracción impropia.

3. Encontrar el mínimo común multiplo de los denominadores para hacer a todas las fracciones homogéneas.

4. Transformar en fracciones homogéneas y a la vez equivalentes a las originales.

5. Ordenar fijandose en los numeradores, de acuerdo a la orden pedida, ascendente (de menor a mayor) o descendente (de mayor a menor).

EJEMPLO:

1. 0,5;   3 1/4,    3/5,    0,75;    2,    1,8;    7/4

2. 1/2,    3 1/4,    3/5,    3/4,    2,    9/5,    7/4

3. 1/2,    13/4,    3/5,    3/4,    2/1,    9/5,    7/4

4. mcm = 20

5. 10/20,   65/20,  12/20,   15/20,   40/20,   36/20,   35/20

6. 10/20 < 12/20 < 15/20 < 35/20 < 36/20 < 40/20 < 65/20

7. 1/2 < 3/5 < 3/4 < 7/4 < 9/5 < 2 < 1 ¼

Algoritmo para ordenar números decimales.-

1. Pasar todos los números a decimales (los fraccionarios se divide el numerador por el denominador)

2. Se igualan el número de cifras decimales con ceros.

3. Se comparan y ordenan primero de acuerdo a la parte entera, luego a la primera cifra decimal (décimos), luego a los centécimos y así sucesivamente.

EJEMPLO:

1.  0,5;   3 1/4,    3/5,    0,75;    2,    1,8;    7/4

2. 0,5;  3,25;  0,6;  0,75;  2;  1,8;   1,75

3. 0,50;  3,25;  0,60;  0,75;  2,00;  1,80;  1,75

4. 3,25 > 2 > 1,8 > 1,75 > 0,75 > 0,6 > 0,5